平面交线方程推导

交线垂直两平面的法矢量，｛1，-2，1｝、｛2，1，-1｝，两法矢量叉积得交线的方向矢量为｛1，3，5｝ 再另z=0，解得x=2，y=0即直线过（2，0，0），所以标准方程为(x-2)/1=y/3=z/5。

方法一（平面束）首先设已知的两平面交线为L，过L的平面束方程为（4x-y+3z-1）+k（x+5y-z+2）=0，然后因为过原点，将坐标（x，y，z）=(0，0，0，)代入平面束方程，求得k=1/2，再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面。

方法二（交线与原点的关系）首先设已知的两平面交线为L，L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积，即由（4，-1，3）与（1，5，-1）求向量积得向量a（-2，1，3）.再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组（两个方程，三个未知量），从中取y为任一数，譬如取y=0，代入方程组解出x=-5/7，z=9/7，这是直线上的一个点的坐标.将点（0，0，0）和直线上点（-5/7，0，9/7）联成向量b（-5/7，0，9/7），再由向量a、b求向量积c，c即为所求平面的法向量，原点坐标已知，根据点法式即可求得平面方程。

若两平面方程如下

ax＋by＋cz＋d＝0

a1＋b1y＋c1z＋d1＝0

先令z＝0，可求出（h，k，0）交点

令y＝0，可求出（m，0，p）交点

再由此两点求出交线的方向向量，即可求出交线方程。