数字分布定理

首位数定理，与其名称相反，并非是一个严格的"定理"，而是一个在绝大部分自然数据集中都存在的经验统计规律。这个规律由Newcomb S.于1881年首次发现，并由Benford F.于1938年再次独立提出，所以也被称为Benford定理。首位数定理是说，十进制中一个数字的首位数是d（d=1，2，..，9）的概率遵从如下的对数分布，越大的数字出现的概率越低。

简单地说，一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，接近直觉得出之期望值1/9的3倍。推广来说，越大的数，以它为首几位的数出现的概率就越低。它可用于检查各种数据是否有造假。

首位数定理的"神秘"性在于，虽然绝大部分自然数据集符合首位数定理，人工伪造的数据集大部分却不满足首位数定理，似乎自然界存在某种特殊的数据生产过程。

为了研究小数的数字规律，引进等分布的概念，它并不复杂，但却引人入胜。

等分布又名一致分布(uniform distribution)。

若为中的一个点集，对于任意正整数n

及任意实数，命表示n个点落入区间[0，r)的点的个数，如果

则称点集

在

中一致分布。

外尔判别法：点集

在

中一致分布的充要条件是

对于任意一个

中的黎曼可积函数

，都有：

外尔，德国数学家，给出了另外一个可行的判别法：

点集

在

中一致分布的充要条件是，对于任意一个

整数h≠0，都有

上面的定义只是数学分析性质的，我们可以对其进行通俗的理解。

所谓的等分布，顾名思义就是说数列

在

上“等可能”

分布。