三角形内切圆半径什么时候最大

由内角的度数及对边的长，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，当三角形ABC为等边三角形时，内切圆半径最大，此时内切圆与外接圆圆心重合，设为O点，由等边三角形的性质得到AO=2DO，由OA的长求出OD的长，即为三角形内切圆半径的最大值． 由正弦定理得：2R=（R为外接圆半径），即R=AO=，当△ABC为等边三角形时，内切圆半径最大，此时内切圆圆心与外接圆圆心重合，设为点O，∵AO=2DO，∴OD=AO=，则此三角形内切圆半径的最大值是．故答案为： 此题考查了正弦定理，以及等边三角形的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键

周长一定的三角形在三角形为等边三角形时内切圆半径最大。要使内切圆半径最大，就要内切圆面积最大，那么三角形的面积也要最大。根据在周长一定时，三角形的面积在三角形为等边三角形时面积最大这个定理就能得出上述结论（这个定理可用三角形面积公式中的海伦公式和基本不定式的推广来证明）。