费马大定理如何证明

证明费马大定理（证明过程详解）

已知：a^2+b^2=c^2

令c=b+k，k=1.2.3……，则a^2+b^2=(b+k)^2。

因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3……

设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)

则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……

当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。

当n=2时，a=d，b=h，c=p，则d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

因为，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)要想保证d、h、p为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数。

∴a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中为整数。

假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话，则费马大定理成立。

设a=mk，则b=k(m^2-1)/2。

令m=k，则a=m^2，b=m(m^2-1)/2，令m/2=(m^2-1)，则b=(m/2)^2，c=(m/2)^2+m。

则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0，m1=0（舍去），m2=(1±√17)/4（非整数）。

此外，当m/2=(m^2-1)时，（也可以让）b=(m^2-1)^2

则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0，m1=0，m2=±1，m3=(1±√17)/4。

验证：当m=±1时，b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0即a^2=c^2。与题要求不符。

假若d、h、p可以以整数的形式出现，说明等式d^n+h^n=p^n成立，费马大定理不成立。否则，d^n+h^n≠p^n不等式成立，费马大定理成立。

费马大定理证明过程：设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。

1、若a，b，c都是大于0的不同整数，m是大于1的整数，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方幂关系成立，则a，b，c，d，e增比后，同方幂关系仍成立.

证：在定理原式a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比为n，n＞1

得到：（na）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m

原式化为：n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）

两边消掉n^m后得到原式.

所以，同方幂数和差式之间存在增比计算法则，增比后仍是同方幂数.

2、若a，b，c是不同整数且有a^m+b=c^m关系成立，其中b＞1，b不是a，c的同方幂数，当a，b，c同比增大后，b仍然不是a，c的同方幂数.

证：取定理原式a^m+b=c^m

取增比为n，n＞1，得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m

原式化为：n^m（a^m+b）=n^mc^m

两边消掉n^m后得到原式.

由于b不能化为a，c的同方幂数，所以n^mb也不能化为a，c的同方幂数.

所以，同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后，等式关系仍然成立.

其中的同方幂数数项在增比后仍然是同方幂数，不是同方幂数的数项在增比后仍然是非同方幂数.