爲什麼向量垂直等於0

兩個向量的數量積就是兩個向量的模相乘，再乘以兩個向量夾角的餘弦，因爲兩個向量相互垂直，所以兩個向量的夾角爲90度，則cos90=0，所以兩個向量的數量積是零.

兩個向量a，b內積定義式爲：a·b=a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ。爲方便解說起見，我們用二維向量來解釋一下，兩個向量a(a₁，a₂)和b(b₁，b₂)內積時，有a·b=a₁b₁+a₂b₂。如果a，b是正交(垂直)的，結果會如何這猛一看，還真不好說，但若把條件特定一下，比如說a在x(i基)軸上，b在y軸(j基)上，二者垂直，則顯然有a₂=b₁=0，結果有a·b=a₁·0+0·b₂=0。

你會問，那如果不是這個特殊位置的，a，b不各自與x，y軸重合，而是偏轉了一個角度呢假設這個角度是β(a與x軸的角度)，那會如何還能有a·b=0麼

這時，a₁=|a|cosβ，a₂=|a|sinβ，b₁=|b|cos(β+90°)，b₂=|b|sin(β+90°)，a·b=|a||b|cosβcos(β+90°)+|a||b|sinβsin(β+90°)。

我們根據三角函數公式知道，sin(β+90°)=cosβ，cos(β+90°)=-sinβ，結果有a·b=|a||b|(-cosβsinβ+sinβcosβ)=0。這說明，只要a與b垂直，則無論a，b相對x，y軸偏轉到怎樣的角度β，它們的內積都與a，b各自與x，y軸重合一樣，結果爲零。a，b相互垂直時，它們的內積爲零是必定的。

那麼，如果a，b之間的夾角不爲零時，比如爲θ，內積的結果會是啥這你一定知道，就是：a·b=|a||b|cosθ。

其實很多人的疑問是：兩個向量的分量(座標值)的乘積和怎麼會正好兩個向量模長的成績與它們夾角的餘弦的乘積呢你按上面的三角函數公式，把90°換成θ，結果就出來了。而且最後僅僅與θ有關，還是沒β啥事。

從後一公式可以看出內積的幾何意義，就是一個向量a的模長在另一個向量b上的投影長度|a|cosθ與該向量模長|b|的乘積，θ是a，b夾角。如果你認這個"原理式"，你就秒明白，若二者垂直了，投影就爲零了，內積當然爲零啦。