柯西分布特征函数推导

取 X 表示柯西分布随机变量，则柯西分布的特性函数表示为：

Φx(tX0，γ)=exp(i*X0*t-γ*t的绝对值)

如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。

柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数，它同样具有自己的分布密度，满足

分布函数F(X)=1/2+1/π*arctanx，-∞<x<+∞

密度函数ф(x)=1/[π(1+x^2)]，-∞<x<+∞

的称为标准柯西分布。

记为C(θ，α)。

对X有柯西分布C(θ，α)， 令Y=(X-θ)/α， 则称Y有C(0，1)分布。对于C(0，1)分布称为标准的柯西分布。正态分布也有类似的性质。

柯西分布有两个参数θ、a， 概率密度函数p.d.f.的图形亦为钟形，不仔细看， 还不容易与正态分布p.d.f.的图形区别。插图中，我们把柯西分布和正态分布的p.d.f.之图形放在一起比较。可发现，，柯西分布p.d.f.之图形下降至0的速度慢很多。