一致连续性为什么要求闭区间

这个定理的实质是对于这个区间我们可以统一地用一个ε来控制每点附近δ范围内的振幅。定理的证明你可以用有限覆盖定理来证，比较能反映本质。

一点处的连续性反映的是这点的邻域的性质，是局部性质，而一致连续性则反映的是定义在整个区间上函数的性质，是整体性质。所以一致连续性与定义域的拓扑性质有直接关系，具体来说就是紧致性。

我们知道，闭区间是紧致的，也就是有有限覆盖性，有限性使得我们能在所有的δ中找到一个最小的，从而由连续性推出了一致连续性。而开区间就不一定了，开区间不具有紧致性，所以其上面的连续函数不一定具有一致连续性。