椭圆第三定义是怎么推导出来的

椭圆第三定义：椭圆上除长轴端点以外的任意一点与长轴两端点连线斜率乘积为e^2-1。

证明过程见如下图片：

椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆的第三定义：平面内的动点到两定点A1(-a，0)、A2(a，0)的斜率乘积等于常数e^2-1当常数大于-1小于0时地点的轨迹叫做椭圆。其中两定点分别为椭圆的顶点。这里的e指离心率。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。椭圆也可看作圆按一定方向做压缩或拉伸一定比例所得图形。

推导过程：

第一步：创建参数

首先，新建参数a并修改值为4.同样添加参数e，并修改最小值为0.1，最大值为0.9，在其右边制作一条变量控制轴.然后计算a*e的值，修改结果名称为c，并修改显示小数位数为0.01.最后，计算sqrt(a^2-c^2)的值，修改名称为b，并修改显示小数位数为0.01.。

第二步：制作椭圆

在工具箱中选择“坐标系”/“四象限坐标系”，添加参数t修改最小值为0、最大值为2*pi，并在其下面制作一条变量控制轴，通过“参数”/“参数方程”命令，修改Y为a*cos(t)，X为b*sin(t)，Z为0，参数t从0到t. 隐藏椭圆方程的相关参数，添加数值坐标点.。

创建点 (a，0)和点(a*cos(t)，b*sin(t))以及点(-a，0)和点 (a*cos(t)，b*sin(t))的直线.修改两条直线的颜色为“粉红色”，计算b*sin(t)/a*cos(t)+a的结果，修改名称为“ka”且选择显示小数位数为0.01。

第三定义：平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆。其中两定点分别为椭圆的顶点。这里的e指离心率。

当常数大于 - 1小于0时为椭圆