抛物线焦点弦性质及证明

一个性质：过焦点F的一条直线交抛物线y²=2px(p>0)与P，Q两点，则PF与FQ的长度为p，q，则1/p+1/q=2/p

证明：抛物线y^2=2px

焦点(p/2，0)

设焦点弦

y=k(x-p/2)

y=kx-kp/2

x=y/k+p/2

代入y^2=2px

x1+x2=p(2+k²）/k²，x1*x2=p²/4

而1/p+1/q=p+q/qp=x1+x2+p/(x1+p/2)(x2+p/2)，把x1+x2和x1x2带入，得到p/2

焦点弦长=x1+x2+p，由e=1证

y1*y2=-p^2 ，y=k(x-p/2)和抛物线联立

通过上面的可证x1*x2=(p^2)/4

A、B为焦点弦的两点，BC//X轴，C为准线上点，有AC过原点

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4，y1y2=-p²。x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4，x1x2=-p²。

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该