二阶导数公式推导过程

设x = f(t) 且 y = g(t)

理解为在一阶导数的基础上，对x再次求导。个人理解：d(dy/dx)/dx整体可以看作先对t求导，再令t对x求导而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t)得出第一个等号后的式子。之后在算乘号左侧的部分时，视为对t的求导，且是除法形式的求导：

子导母不导-子不导母导 ------------------------------ 分母的平方 123123

(以上三行假装是分数形式……)之后的部分就很好理解，按部就班即可

最终结论公式

=d(dy)/dx*dx=d²y/dx²

dy是微元，书上的定义dy=f'(x)dx，因此dy/dx就是f'(x)，即y的一阶导数。

dy/dx也就是y对x求导，得到的一阶导数，可以把它看做一个新的函数。

d(dy/dx)/dx，就是这个新的函数对x求导，也即y的一阶导数对x求导，得到的就是二阶导数。

函数凹凸性

设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在（a，b)内f''(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的。

（2）若在（a，b)内f’‘(x)<0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的

推导步骤如下：y=f(x)要求d^2x/dy^2dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'd^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy=-y''/y'^2*1/y'=-y''/y'^3拓展资料：反函数的导函数：在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。

只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。