子群的判定定理

子群判定定理：

设G是一个群 ，H是其子群。 若H的左陪集与右陪集总是相等（对任何的a∈G，aH=Ha）， 则称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。

注：(1) 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群G和{e}都是G的正规子群。 (2) 若G是交换群， 则G的所有子群都是正规子群。

验证H为G的一个子群H≤G，需要验证下面几条：

1. G的运算是H的运算，运算封闭性

2. 存在单位元

3. 每个元素都存在逆元。

结合律不需要验证，在大的集合G中满足结合律，在小集合H内自然满足。

实际上我们不需要验证这三条。

定理2：设G 是群，则非空子集合H≤G当且仅当：

[公式]

证明：（1）说明G的运算也是H的运算，（2）说明H中每个元素都有逆。从而 [公式] ，H有单位元。

我们更常用的是将这两条结合在一起的子群判定定理：

定理3：设G 是群，则非空子集合H≤G当且仅当：

[公式]

显然，只需证明充分性：（1） [公式]

(2） [公式] (3)[公式]

对于一个有限子集合，我们甚至可以只验证运算是封闭的，也就是是子集合上的运算。

推论1：设G是群，则非空有限子集合H≤G当且仅当： ∀a，b∈H⇒ab∈H.

证明：（充分性）有限子集H上运算满足消去律，从而是群. 当然也可以直接构造出单位元和每个元素的逆元。由运算封闭性 [公式] ，只需注意H是有限集合，故必存在某个s>t，使得 [公式] ，在群G中利用消去律，可得 [公式]