三角形垂心共点证明

三角形的三条边的高线交于一点，这点就叫做三角形的垂心。他的证明很简单，我们可以用面积法来证明，或者是用画图法来加以证明对于锐角三角形它的三条边的高，线交于锐角三角形内一点，对于直角三角形它的三条高线交于直角顶点上，对于钝角三角形我们做三边当中的有两条边的延长线，分别做他们的高线，然后延长他们，也交于三角形外一点。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线.

欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线.

欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM，设AM交OH于点G’.∵ BD是直径，∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB，DC⊥BC.∵

CH⊥AB，AH⊥BC，∴ DA‖CH，DC‖AH.∴ 四边形ADCH是平行四边形，∴ AH=DC.∵ M是BC的中点，O是BD的中点.∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH，∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G与G’重合.∴ O、G、H三点在同一条直线上.