韦达定理与三次四次方程的应用

    韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

     法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

下面是韦达定理与三次四次方程的应用

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

去.所以我们只要考虑形如

x3=px+q

的三次方程.

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数.

代入方程，我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时

3ab+p=0.这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6 + p = 27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a.进而可解出b和根x.

费拉里发现的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程

一般形式中的三次项.所以只要考虑下面形式的一元四次方程：

x4=px2+qx+r

关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式.考虑一个参数

a，我们有

(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即

q2 = 4(p+2a)(r+a2)

这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以

解出参数a.这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x

的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x.

韦达定理(Vieta's Theorem）的内容

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中

设两个根为X1和X2

则X1+X2= -b/a 韦达定理

X1*X2=c/a

不能用于线段

用韦达定理判断方程的根

若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac