正割積分推導

解：積分secxdx

=ln/secx+tanx/+C

有好幾種方法的：最常用的是∫ secx dx = ln|secx + tanx| + C

第一種最快：

∫ secx dx

= ∫ secx • (secx + tanx)/(secx + tanx) dx

= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx

= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)

= ln|secx + tanx| + C

第二種：

∫ secx dx

= ∫ 1/cosx dx = ∫ cosx/cos²x dx = ∫ dsinx/(1 - sin²x)

= (1/2)∫ [(1 - sinx) + (1 + sinx)]/[(1 - sinx)(1 + sinx)] dsinx

= (1/2)∫ [1/(1 + sinx) + 1/(1 - sinx)] dsinx

= (1/2)[ln|1 + sinx| - ln|1 - sinx|] + C

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

= ln| √(1 + sinx)/√(1 - sinx) | + C

= ln| [√(1 + sinx)]²/√[(1 - sinx)(1 + sinx)] | + C

= ln| (1 + sinx)/cosx | + C

= ln|secx + tanx| + C

第三種：

∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx

= ∫ 1/sin(x + π/2) dx，或者化為1/sin(π/2 - x)

= ∫ 1/[2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 + π/4)] dx，分子分母各除以cos²(x/2 + π/4)

= ∫ sec²(x/2 + π/4)/tan(x/2 + π/4) d(x/2)

= ∫ 1/tan(x/2 + π/4) d[tan(x/2 + π/4)]

= ln|tan(x/2 + π/4)| + C

他們的答案形式可以互相轉化的