三角形垂心面积比等于正切比

三角形面积与正切没有什么关系

三角形垂心定理:

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

求证：CF⊥AB

证明：

连接DE

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四点共圆

∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC

∠AEO=∠ADC

∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC

∴ΔEAD∽ΔOAC

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE ∠BAC=90度

∴∠ACF ∠BAC=90度

∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

1、锐角三角形的垂心在三角形内直角三角形的垂心在直角顶点上钝角三角形的垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

3、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

4、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

5、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

6、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线

答案解析

设垂心为O，BC，CA，AB边的垂足分别为：D，E，F

OF=AO*cos角FOA=AO*cosB

OE=AO*cos角AOE=AO*cosC

所以:OF/OE=(1/cosC)/(1/cosB)

同理可证:OE/OD=(1/cosB)/(1/cosA)

所以:OF:OE:OD=(1/cosC):(1/cosB):(1/cosA)

即:垂心到三角形三边之比=(1/cosA):(1/cosB):(1/cosC)答案解析

设垂心为O，BC，CA，AB边的垂足分别为：D，E，FOF=AO*cos角FOA=AO*cosBOE=AO*cos角AOE=AO*cosC所以:OF/OE=(1/cosC)/(1/cosB)同理可证:OE/OD=(1/cosB)/(1/cosA)所以:OF:OE:OD=(1/cosC):(1/cosB):(1/cosA)即:垂心到三角形三边之比=(1/cosA):(1/cosB):(1/cosC)