奔驰定理最简单的证明方法

奔驰定理:已知P为△ABC内任意一点，则有Sʙᴘᴄ·¬PA+Sᴀᴘʙ·¬PC+S ᴀᴘᴄ·¬PB=¬0.(向量符号不会手机输入，权且用¬代替).由于其图形形状酷似奔驰车标，被戏称为奔驰定理。

奔驰定理的证明方法有很多种，今天我讲其中一种——面积法。

证明：延长AP交BC于点Q，则有Sᴀʙᴄ=Sʙᴘᴄ+Sᴀᴘʙ+Sᴀᴘᴄ

则有

¬AP=((Sᴀᴘʙ +Sᴄᴘᴀ)/Sᴀʙᴄ)·¬AQ

=((Sᴀᴘʙ +Sᴄᴘᴀ)/Sᴀʙᴄ)·((|¬QCI/|¬BC|)·¬AB+(|¬QB|/|¬BC|)·¬AC)

=(Sᴀᴘᴄ/(Sᴀᴘᴄ+Sᴀᴘʙ))·¬AB+(Sᴀᴘʙ/(Sᴀᴘᴄ+Sᴀᴘʙ))·¬AC

∴¬AP=(Sᴀᴘᴄ/Sᴀʙᴄ)(¬AP+¬PB)+(Sᴀᴘʙ/Sᴀʙᴄ)(¬AP+¬PC)

∴Sᴀᴘᴄ·¬PB+Sᴀᴘʙ·¬PC-Sᴘʙᴄ·¬AP=¬0

即Sʙᴘᴄ·¬PA+Sᴀᴘʙ·¬PC+S ᴀᴘᴄ·¬PB=¬0.

奔驰定理，因其几何表示酷似奔驰的标志得来，具体内容如下：有△ABC，点p为该三角形内的一点（在三角形边上为定比分点公式）。那么则有SA·PA + SB·PB + SC·PC =0，其中：SA为△BCP的面积，SB为△ACP的面积，SC为△ABP的面积。