三个向量线性相关的条件

定理1 向量b能由向量组A：a1， a2， …， am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1， a2， …， am) 的秩等于矩阵B=(a1， a2， …， am， b)的秩。

定理2 向量组B：b1， b2， …， bl 能由向量组A：a1， a2， …， am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1， a2， …， am)的秩等于矩阵(A， B)=( a1， a2， …， am， b1， b2， …， bl)的秩，即R(A) = R(A， B)。

推论：向量组A：a1， a2， …， am 与向量组B：b1， b2， …， bl 等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A， B)。

定理3 设向量组B：b1， b2， …， bl 能由向量组A：a1， a2， …， am 线性表示，则R(A)≥ R(B)。

定理4 向量组A：a1， a2， …， am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=( a1， a2， …， am) 的秩小于向量个数m向量组A线性无关的充要条件是R(A) = m。

定理5 (1) 若向量组A：a1，…，am线性相关，则向量组B：a1， …， am， am+1也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则

向量组A也线性无关。是以|α1，α2，α3|为行向量组构成3阶方阵A，所以向量组线性相关的充分必要条件是|A|=0。

|A|=-30a+30b+30c=-30(a-b-c)。

所以向量组线性相关的充分必要条件是a-b-c=0。