求双曲函数的反函数

双曲正弦函数是双曲函数的一种。双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。

与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

双曲正弦函数的定义式为：

sinh=[e^x-e^(-x)]/2

y=shx=1/2(e^x-e^(-x))

2(e^x)*y=e^(2x)-1

e^(2x)-2y(e^x)-1

e^x=1/2*(2y+√(4y²+4)) （取正号，负号无意义）=y+(y²+1)^(1/2)

x=ln(y+√(y²+1))

或写成

y=ln(x+√(y²+1)) 即为双曲正弦反函数

双曲余弦函数在实数范围内不是单调函数，没有反函数。对于双曲正弦，y=(exp(x)-exp(-x))/2，令x，y互换，得到x=(exp(y)-exp(-y))/2，设t=exp(y)，则有x=(t-1/t)/2，即t^2-2xt-1，由于t>0，故t=x+(x^2+1)^0.5，y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^0.5)。

在复数范围内sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2，cosh(z)=(exp(z)+exp(-z))，asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^0.5)，acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^0.5)，推导方法为：w=asinh(z)，则z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2，和实数范围内的相似，但注意此时它们是多值函数，性质很复杂，大学中有专门的课程《复变函数》，会详细的讲解的。