曲線引數方程怎麼求切線方程

曲線的引數方程為：｛x=t-sint，y=1-cost，z=4sin(t/2)

分別對t求導，得 x '=1-cost，y '=sint，z '=2cos(t/2)

將 t0=π/2 分別代入，可得切點座標為（π/2-1，1，2√2）

切線方向向量 v=（1，1，√2）

所以，切線方程為 (x-π/2+1)/1=(y-1)/1=(z-2√2)/√2

法平面方程為 1*(x-π/2+1)+1*(y-1)+√2*(z-2√2)=0 。

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引數方程的應用

在柯西中值定理的證明中，也運用到了引數方程。

柯西中值定理

如果函式f(x）及F(x）滿足：

⑴在閉區間[a，b]上連續

⑵在開區間(a，b)內可導

⑶對任一x∈(a，b)，F'(x）≠0。

那麼在(a，b)內至少有一點ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立。

柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶餘項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。

引數曲線亦可以是多於一個引數的函式。例如引數表面是兩個引數(s，t)或(u，v)的函式。

譬如一個圓柱：

r(u，v)=[x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)]=[acos(u)，asin(u)，v]

引數是參變數的簡稱。它是研究運動等一類問題中產生的。質點運動時，它的位置必然與時間有關係，也就是說，質的座標x，y與時間t之間有函式關係x=f(t)，y=g(t)，這兩個函式式中的變數t，相對於表示質點的幾何位置的變數x，y來說，就是一個“參與的變數”。

這類實際問題中的參變數，被抽象到數學中，就成了引數。我們所學的引數方程中的引數，其任務在於溝通變數x，y及一些常量之間的聯絡，為研究曲線的形狀和性質提供方便。

用引數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線（例如圓的漸開線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既複雜又不易理解。

根據方程畫出曲線十分費時而利用引數方程把兩個變數x，y間接地聯絡起來，常常比較容易，方程簡單明確，且畫圖也不太困難。

dx/dt=2e^tdy/dt=-e^ty'=-e^t/(2e^t)=-1/2x(0)=2y(0)=-1所以t=0處的切線方程為：y=-1/2*(x-2)-1=-x/2