不動點根法求數列通項公式

當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。 我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定係數，又要求倒數之類的，太複雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的兩個根為x1，x2， 若x1=x2 ，則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定係數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。

注：如果有能力，可以將p的表示式記住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)

其中q可以用待定係數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。

擴充套件資料：

設含有n個未知數與n個方程的非線性方程組為F(x)=0，然後把方程組改為便於迭代的等價形式x=ψ(x)，由此就可以構造出不動點迭代法的迭代公式為xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}滿足lim(k→∞)xk=x*，則x*就是ψ的不動點，這樣就可以求出非線性方程組的解。

不動點法(fixed point method)是解方程的一種一般方法，對研究方程解的存在性、唯一性和具體計算有重要的理論與實用價值。數學中的各種方程，諸如代數方程、微分方程和積分方程等等，均可改寫成

的形式，其中

是某個適當的空間

中的點，

是從

到

的一個對映，把點

變成點

。

於是，方程的解就相當於對映

在空間

中的不動點。這一方法把解方程轉化為求某個對映的不動點，故而得此名。其優點在於可以把幾何、拓撲和泛函分析中較深刻的工具應用於方程論。