垂直平分線的判定證明過程

答:垂直平分線的判定證明過程的答覆是:一，判定方法是①交點兩邊的線段長相等，②該線與相交線間形成的夾角有直角。

二，證明方法是:從該線上任一點與相交線的兩個端點連線，形成兩個三角形，證明這兩個三角形全等即可。

要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等。證明：∵MN⊥AB

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∵AC＝BC，PC＝PC

∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)。

原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”。反過來，如果PA =PB，那麼點P 是否線上段AB 的垂直平分線上呢

方法一，證明：過點P作已知線段AB的垂線PC．∵PA＝PB，PC＝PC

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC＝BC

即P點在AB的垂直平分線上。

方法二，取AB的中點C，過PC作直線．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB

∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°

∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．

∴P點在AB的垂直平分線上。

方法三，過P點作∠APB的角平分線．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC

∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P點線上段AB的垂直平分線上。

方法四

過P作線段AB的垂直平分線PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°

∴P在AB的垂直平分線上。

從推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理。

經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線是線段的垂直平分線。到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合）。

經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”。垂直平分線可以看成到線段兩個端點距離相等的點的集合，垂直平分線是線段的一條對稱軸。

垂直平分線的性質：

(1)垂直平分線垂直且平分其所線上段

(2)垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等

(3)三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，該點叫外心，並且這一點到三個頂點的距離相等

(4)垂直平分線的判定：必須同時滿足（1）直線過線段中點（2）直線⊥線段。