向量轉置的幾何意義

一個向量乘以另一個向量的轉置，這是內積運算。內積運算從幾何角度上說，是一個投影。

舉一個例子，例如有一顆樹，當太陽在樹的正上方的時候，樹的影子只有一個點，也就是說樹在大地的投影為0，這裡可以把大樹抽象為一個向量，大地是一個平面，太陽光下的影子就是一個投影操作。

投影為0說明內積為0，內積為0說明二者是正交(垂直)關係，因為大樹垂直於大地這個平面。如果大樹倒塌了，那麼大樹在地面的投影等於它本身(這就可以類比向量到自身的投影，或者說自己跟自己的內積)。

正是這個投影運算，我們可以定義兩個向量的夾角α，cosα=(a，b)/|a||b|，這其實就是平面三角形餘弦定理到高維空間的推廣。正交(垂直)就是夾角為π/2，等價於內積為0。

轉置是一個數學名詞。直觀來看，將A的所有元素繞著一條從第1行第1列元素出發的右下方45度的射線作鏡面反轉，即得到A的轉置。

一個矩陣M， 把它的第一行變成第一列，第二行變成第二列，......，最末一行變為最末一列， 從而得到一個新的矩陣N。 這一過程稱為矩陣的轉置。即矩陣A的行和列對應互換。