最高階非零子式求法
1、 對矩陣,施行標準,程序的初等行變換,把矩陣化成行階梯形,矩陣的最高階非零子式,可取為它的非零行的非零首元,所在的行和列,構成的子式。
2、 相應於的這些行和列,取中對應的行和列,構成的子式,即為一個最高階非零子式。
3、 這樣選出的這個子式,對它施行與上述,對矩陣的這些行,一樣的初等行變換後,此行列式恰好,化為上三角行,行列式,它與非零子式,僅相差一個非零常數倍,從而就是一個階非零子式,即它是一個最高階非零子式。
1、 最高階非零子式,就是矩陣A中含有一個不等於零的r階子式D,然後且r+1階都等於零,那麼D稱為矩陣的最高階非零子式。
2、 最高階非零子式,要在矩陣D化成最簡形d後取,因為這樣比較直觀的看出非零子式,並不是要在化後的式子中取,而是要在D中取,只不過是要通過d,較直觀的看出,然後再進行在D中取。
注:用初等行變換(不交換行)化成梯矩陣
非零行的首非零元所在列構成一個最高階非零子式:
2 1 8 3 7
2 -3 0 7 -5
3 -2 5 8 0
1 0 0 2 0
r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4
0 1 8 -1 7
0 -3 0 3 -5
0 -2 5 2 0
1 0 0 2 0
r2+3r1,r3+2r1
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 21 0 14
1 0 0 2 0
r3-(21/24)r2
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 0 0 0
1 0 0 2 0
容易看出2,3行成比例,所以第1,2,4行,1,2,3列構成一個最高階非零子式。
擴展資料:
變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣
(3)r(kA)=r(A),k不等於0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
證明:
AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣
|AB O|
|O En|
A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|AB A|
|0 En|
右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
注:這裏的n指的是A的列數。這裏假定A是m×n matrix。
特別的:A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
(8)P,Q為可逆矩陣, 則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
在m*n矩陣A中,任取k行與k列(k<=m,k<=n),位於這些行列交叉處的k^2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式,稱為矩陣A的k階子式.