關於有界函數的定義

值域是有限區間的函數，是有界函數。值域是無限區間的函數是無界函數。

例如，正弦函數y=sinx，對任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恆成立，所以y=sinx是R上的有界函數。

有的函數在定義域的部分區間上可能是有界的.

例如，一次函數y=2x+1，定義域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定義域(-∞，+∞)上是無界的. 但是它在區間（-1，2）上，值域（-1，5），它是有界的. 事實上，它在定義域的任意的真子集上都是有界的.

有的函數在定義域的部分區間上可能是無界的.

例如，反比例函數y=1/x，定義域(-∞，0)∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定義域(-∞，0)∪(0，+∞)上是無界的.它在區間（0，1）內，值域（1，+∞），它是無界的. 當然，它在區間（1，+∞）內，值域（0，1），它是有界的.