振荡间断的函数一定有原函数吗

含振荡间断点的函数不仅可以存在原函数，而且，存在原函数的不连续函数的震荡点必为振荡间断点。

振荡间断点，间断点处的极限振荡不存在的间断点，属于第二类间断点。注意，此处是振荡不存在，并不是极限为无穷，不要混淆。在高等数学的四类间断点中，振荡间断点是最特殊最重要的间断点，因为振荡是唯一的可能存在不定积分（原函数存在定理）的间断点，也是唯一一个可能可积的第二类间断点。

振荡间断点属于第二类间断点。

毫无疑问，凡是间断点x0，一定是f(x0)不存在（包括有定义不存在和无定义不存在）或者存在但不在函数上，即间断点x0处的值一定是不存在或者存在且不同时等于该点处左右极限的值的。

一般在中国大陆教材中，间断点x0处可以无定义，但在间断点x0的去心邻域内有定义，即间断点双侧存在定义才会讨论间断点，没有双侧定义不讨论间断，也就是你所学的基本上都不讨论，也不考没有双侧定义的间断，这点要注意。但在国际教材中，比如菲氏《微积分教程》中，存在间断点单侧定义，即同一间断点可以左侧为无穷间断，右侧为跳跃间断。

振荡间断的函数一定有原函数吗

正例:

显然 f(x) 在 x = 0 处有振荡间断点，(用定义)容易验证 F'(0) = f(0)，即 f(x) 有原函数 F(x).反例:

同上，除 x = 0 这一点之外，在任意一点 x 处均满足F'(x) = f(x)，但(用定义可以验证) F(x) 在 x = 0 处不可微，所以在包含0的区间上， f(x) 没有原函数.如果需要，我可以把这几个函数的图像画出来.