直线y=x+1是曲线的切线

1、因为直线y=x+1是曲线y=x^3+3x^2+4x+a的切线，所以直线y=x+1的斜率k=1是曲线某一点的导数。这里先求出曲线的一阶导数y'=3x^2+6x+4。

2、因为直线y=x+1的斜率k=1是曲线某点的一阶导数的值，所以当y'=k时，可以列出方程3x^2+6x+4=1解方程可以得到x=-1。

3、求出x=-1时曲线与直线相切，切点（-1，y）可通过直线y=x+1求出此点y值为0，切点为（-1，0）。

4、将切点（-1，0）代入曲线y=x^3+3x^2+4x+a，可求得a=2。

所以题目的答案是a等于2。

斜率与导数

斜率，数学、几何学名词，是表示一条直线（或曲线的切线）关于（横）坐标轴倾斜程度的量。它通常用直线（或曲线的切线）与（横）坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故此直线不存在斜率（也可以说直线的斜率为无穷大）。当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像的斜率。

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。