1的3次方加到n的3次方的公式

从特殊到一般，从简单到复杂的思维方式归推导公式，过程如下：

若n＝1，则1的立方＝1＝1的平方。

若n＝2，则1立方＋2立方＝9＝3平方＝（1＋2）的平方。

若n＝3，则1立方＋2立方＋3立方＝36＝6平方＝（1＋2＋3）的平方。

……

由此，可知：1立方＋2立方＋3立方＋…＋n立方＝（1＋2＋3＋…＋n）的平方＝4分之n平方x（n＋1）平方。

1的3次方＋2的3次方十……十n的3次方＝〈n（n十1）〉的平方／4。 （1）

用数学归纳法证明

一）当n＝1时，式（1）显然成立。

二）假定n＝k时式（1）成立，即1的3方十2的3方十……n的3方＝k（k十1）的平方／4。

那么，当n＝k十1时式（1）左边＝（1的3方十……十k的3方）十（k十1）的3方

＝k（k十1）平方／4 十（k十1）的3方

＝（k十l）平方／4 ×

（k平方十4k十4）

＝〈（k十1）（k十2）〉平方／4。

右边＝〈（k十1）（k十2）〉平方／4。

左边＝右边∴n＝k十1时（1）成立。

可知式（1）对于所有自然数n都成立。